1、谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫维是log(3)/log(2) ≈ 1.585。
2、去掉中心：取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）；沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；去掉中间的那一个小三角形；对其余三个小三角形重复1；取一个正方形或其他形状开始，用类似的方法构作，形状也会和谢尔宾斯基三角形相近。
3、Chaos Game：用随机的方法（Chaos Game），都可得到谢尔宾斯基三角形；任意取平面上三点A,B,C，组成一三角形；任意取三角形ABC内的一点P，画出该点；画出 P和三角形其中一个顶点的中点；重复。
三角形与特殊三角形
（一）：知识梳理
1.三角形中的主要线段
（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的
顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． （3）高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线
段叫做三角形的高． (4)中位线：连接三角形两边的中点的线段。 2.三角形的边角关系
（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；
（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o． 3.三角形的分类
?不等边三角形?
（1）按边分：三角形?底和腰不等的等腰三角形
?等腰三角形?
?等边三角形?直角三角形
?
（2）按角分：三角形?锐角三角形
?斜三角形?
?钝角三角形?
4.特殊三角形
（1）直角三角形性质
①角的关系：∠A+∠B=900； ②边的关系：a?b?c
?C?90?1?
③边角关系：?BC?AB； ?0
2?A?30?
222
?C?90?1
?CE?AB ④?
2AE?BE?
⑤ch?ab?2s； ⑥外接圆半径R?
（2）等腰三角形性质
AC?BC?AD?BD
? ①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③?
CD?AB?BCD?ACD?
c2
；内切圆半径r=
a+b-c2
④轴对称图形，有一条对称轴。
（3）等边三角形性质
①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB；
AB?AC?BD?CD③；④轴对称图形，有三条对称轴。 AD?BC?BAD?CAD?
1?
AD?BD?DE?BC
（4）三角形中位线： 2
AE?BE?DE∥BC
?
5.特殊三角形的判定]
6.两个重要定理：
（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两
边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）
（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）
二）：课前练习
1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A．1cm，2cm，4 cm B．8 crn，6cm，4cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ，6 cm
2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a，则（ ） A．a =8 B．a =4 C．a =4或8 D．4＜a
3.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（ ） A．15cm B．20cm C．25 cm D．20 cm或25 cm
4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______. 5.如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=6，
求CD的长和四边形 ABCD的面积．
AD=2，∠D=90○，
二：经典考题剖析
1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三
角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角． 2.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________ 3.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点，F是BE的中点．若面ΔDEF的面积是10，则ΔADC的面积是多少？
4.正三角形的边长为a，则它的面积为_____.
5.如图，DE是△ABC的中位线， F是DE的中点，BF的延长线交 AC于点H，则AH：HE等于（ ） A．l：1 B．2：1 C．1：2 D．3：2
三：课后训练
1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．
3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D， ∠ACD=50，则 ∠CDE的度数是（ ）
A．175° B．130° C．140° D．155°
4.如图，△ABC中，∠C＝90○ ，点E在AC上，ED⊥AB，垂足 为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC等于（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：2 D．1：4
5.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ） A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13
C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
6.如图，直角梯形ABCD中,AB∥ CD，CB⊥AB，△ABD是等边 三角形，若AB=2，则CD=_______，BC＝_________. 7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分 ∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数． 8. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm． （1）求第三边BC的取值范围；
（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长； （3）若第三边BC长为整数，求BC的长 9. 已知△ABC，
(1)如图1－1－27，若P点是?ABC和?ACB的角平分线的交点，则 ?P=90?(2)如图1－1－28，若P点是?ABC和外角?ACE的角平分线的交点，则?P=
1212?A；
o
?A；
(3)如图1－1－29，若P点是外角?CBF和?BCE的角平分线的交点，则
?P=90?
12?A。
10.已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC于点P． （1）求证：PD=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长.
三角形基础知识是研究三角形的基础，要知道三条线段只有满足三边关系才能组成三角形，要知道三角形的高，中线，角平分线是三条线段，要知道它们的有关性质，特别要注意三角形的高的位置与三角形的形状有关，因而解答三角形高有关问题时常需分类讨论。
知识全解
一．三角形的概念及其表示
由不在同一直线上的三条线段组成的图形称为三角形。“三角形”可以用符号“△”表示。
提示：“不在同一直线上”，“三条三段”，“首尾顺次相接”这三个条件，缺一不可。
二．三角形三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
提示：如果三边大小关系明确，看较小的两边的和是否大于第三边；如果三边大小关系没有明确，则有两种思路：一种是看任意两边之和是否大于第三边；另一种是选取两边与第三条边进行比较，看是否满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三．三角形的中线
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点，所得的线段称为三角形的中线。
提示：三角形中线将三角形分成面积相等的三角形。
四．三角形的高
从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段称为三角形的高线，简称三角形的高。
